Descripción general.

El tema desarrollado en Sistema de Ecuaciones lineales se entrega información acerca de los métodos de solución algebraicos de sistemas de ecuaciones lineales.
Se hace referencia a un tema de química que utiliza sistemas de ecuaciones lineales para solucionar el balanceo de ecuaciones en ciertas reacciones químicas y se lo relaciona con procesos que sufre el cobre durante la lixiviación hasta obtener cobre casi 100 % puro.
La actividad práctica presenta una situación concreta y motivadora acerca de un pequeño negocio que emprenden dos amigos, se pide a los alumnos representar la situación como un modelo de sistemas de ecuaciones lineales.

Objetivos fundamentales.

• Reconocer situaciones que pueden ser resueltas porsistemas de ecuaciones lineales.

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 incógnitas usando alguno de los sistemas algebraico.

• Plantear y resolver problemas y desafíos que involucren sistemas de ecuaciones lineales.
Conceptos claves.

• Fracciones.

• Decimales.

• Proporciones.

• Áreas de cuadrados, rectángulos y triángulos rectángulos.

Contenidos.

• Sistemas de ecuaciones lineales.

• Métodos de igualación, reducción, sustitución y Cramer.

• Problemas que se traducen a sistemas de ecuaciones lineales.

Objetivos transversales.

• Seleccionar y organizar informaciónrelevante.

• Desarrollar actitudes de rigor y de perseverancia.

Aprendizajes posibles.

• Reconocer sistemas de ecuaciones lineales y la necesidad de resolver las 2 ecuaciones en forma conjunta.

• Aplicar algún método algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 incógnitas.

• Traducir un problema a lenguaje algebraico usando sistemas de ecuaciones lineales en el planteamiento.

• Responder a un problema de planteo con las respuestas pertinentes.
Otras oportunidades de aprendizaje.

• Conocer acerca de reacciones químicas y procesos que pueden resolverse con uso de sistemas de ecuaciones lineales.

• Interpretar el lenguaje común traduciendo a lenguaje matemático.

• Aprender sobre la ley de los metales que se obtiene de la aleación con otros.
Sugerencias para el docente.

• Aportar otras situaciones de desafío que se puedan resolver por sistemas de ecuaciones lineales (% de aleación de metales, problemas de cálculo de ángulos en triángulos, problemas de costo y producción,etc.).

• Escribir un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas y pedir los alumnos inventen el problema que pueda ser resuelto usándolo.

• Hacer hincapié en que existen varios métodos de solución y que algunos son más apropiados de usar que otros, dependiendo del problema.
• Ampliar los sistemas usando ecuaciones literales.

Criterios de evaluación.

• Utiliza correctamente un método algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 y 3 x 3.

• Interpretar algebraicamente escribiendo como un sistemas de ecuaciones lineales un enunciado verbal.

• Resuelve, analiza y da respuesta a un problema que se soluciona mediante sistemas de ecuaciones lineales.

Resolución de problemas.

Ana y Pablo son amigos y harán un negocio. Ana fabricará pulseras de mostacillas y Pablo libretas de papel
reciclado.

1. Si fabrican 65 artículos en total y venden cada pulsera a $ 1.000 y cada libreta a $ 1.200 ¿Cuántas pulseras y cuántas libretas deben hacer para obtener $ 71.000 con la venta, si el costo en materiales de cada pulsera es de $ 300 y de cada libreta es de $ 100? ¿Cuánto dinero ganarán con esta venta?
Para resolver puedes seguir estos pasos:

a) Identifica las incógnitas.
x = _____________________
y = _____________________

b) Plantea una ecuación con el número de artículos.
__________________= 65

c) Plantea la 2a ecuación con los precios de los artículos.
________ x + ________ y = ________

d) Resuelve el sistema de 2 ecuaciones y completa.
x = ___________ y = ______________

e) Responde al problema:
Deben fabricar __________ pulseras y ___________ libretas.

Por la venta obtienen $ __________________.

Costo de materiales $ ___________________.

Ganancia $ ___________________________.

2. Si fabrican 20 pulseras y 30 libretas. ¿A qué precio deben vender cada uno para obtener $ 85.000 con la
venta y quieren que cada libreta valga $ 500 más que cada pulsera?
Para resolver el problema puedes seguir estos pasos:

a) Identifica las incógnitas:
x = __________ y = ______________

b) Plantea una ecuación con los precios de venta y el dinero que obtendrán:
_____ x + _____ y = $ 85.000

c) Plantea la 2º ecuación considerando la relación entre los precios de cada artículo:
x = _______ + _________
bien x - _______ = _________

d) Resuelve el sistema y completa:
x = _________ y = ___________

Respuesta:
Deben vender cada pulsera a $ _________ y cada libreta a $ _______________

Método de reducción:
Existen varios métodos de resolución de sistemas de ecuaciones: igualación, sustitución, reducción y
cramer.
El método de reducción busca reducir 2 ecuaciones a una sola, multiplicándolas para que los coeficientes
de una de las incógnitas queden igualados pero con signo contrario y puedan cancelarse.

De esta forma reducimos de 2 incógnitas a solo una y de 2 ecuaciones a una.
Ejemplo:
2x – 3y = 2 /. 3 6x – 9y = 6
3x – 2y = 8 /. (-2) -6x + 4y = -16
-5y = -10 y = 2, entonces x = 4

Métodos de solución algebraica:
Son los pasos de aplicación de operaciones algebraicas para solucionar el sistema de ecuaciones.

Sistemas de 2 x 2.

Se llama así a un conjunto de 2 ecuaciones de 1º grado con 2 incógnitas cada una.
Ejemplo:
x – 5y = 32
3x + y = 12


Sistemas de 3x3.

Se llaman así porque están compuestos por 3 ecuaciones y con 3 incógnitas.
Ejemplo:
x + y + z = 1
x + y + 2z = 2
2x + y + z = 3

Sistemas de Ecuaciones Lineales
Están formados por 2 o más ecuaciones de primer grado, llamadas también lineales, con 2 o más incógnitas
y que deben ser resueltos en forma simultánea.
Ejemplo:
2x + 3y = 13
x – y = 4
Resolver este sistema significa encontrar los valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones.
La solución se escribe: x = 5 , y = 1 , o bien ( 5 , 1 )